3. Найдите площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого относится к основанию как 13:10, а высота, проведенная к основанию, равна 36 см.

Пусть боковая сторона равна $$13x$$, а основание равно $$10x$$. Высота, проведенная к основанию, равна 36 см. Так как треугольник равнобедренный, высота, проведенная к основанию, является также медианой. Значит, она делит основание пополам. Получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой $$13x$$ и катетами $$36$$ и $$5x$$. По теореме Пифагора: $$(13x)^2 = (5x)^2 + 36^2$$ $$169x^2 = 25x^2 + 1296$$ $$144x^2 = 1296$$ $$x^2 = \frac{1296}{144} = 9$$ $$x = \sqrt{9} = 3$$ Тогда основание равно $$10x = 10 \cdot 3 = 30$$ см. Площадь треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$, где a - основание, h - высота. $$S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 36 = 15 \cdot 36 = 540$$ кв.см. **Ответ: 540 кв. см**