9. Металлический цилиндр подвесили на пружине и полностью погрузили в воду. При этом растяже ние пружины уменьшилось в 1,5 раза. Рассчитайте плотность металла.

Шаг 1: Запишем условие задачи:

• Растяжение пружины в воздухе: \(x_1\)
• Растяжение пружины в воде: \(x_2 = \frac{x_1}{1.5}\)

Шаг 2: Запишем силы, действующие на цилиндр в воздухе и в воде:

• В воздухе: \(F_1 = k \cdot x_1 = m \cdot g\), где k - жесткость пружины, m - масса цилиндра
• В воде: \(F_2 = k \cdot x_2 = m \cdot g - F_a\), где \(F_a\) - архимедова сила

Шаг 3: Выразим архимедову силу:

\(F_a = m \cdot g - k \cdot x_2\)

\(F_a = m \cdot g - k \cdot \frac{x_1}{1.5}\

Так как \(k \cdot x_1 = m \cdot g\), то \(k = \frac{m \cdot g}{x_1}\)

\(F_a = m \cdot g - \frac{m \cdot g}{x_1} \cdot \frac{x_1}{1.5} = m \cdot g - \frac{m \cdot g}{1.5} = \frac{m \cdot g}{3}\

Шаг 4: Запишем формулу архимедовой силы через плотность воды и объем цилиндра:

\(F_a = \rho_{воды} \cdot V \cdot g\)

Где \(\rho_{воды} = 1000 \text{ кг/м}^3\), V - объем цилиндра.

Шаг 5: Выразим массу цилиндра через его плотность и объем:

\(m = \rho \cdot V\), где \(\rho\) - плотность металла.

Шаг 6: Приравняем выражения для архимедовой силы:

\(\frac{m \cdot g}{3} = \rho_{воды} \cdot V \cdot g\)

\(\frac{\rho \cdot V \cdot g}{3} = \rho_{воды} \cdot V \cdot g\)

Шаг 7: Найдем плотность металла:

\(\frac{\rho}{3} = \rho_{воды}\

\(\rho = 3 \cdot \rho_{воды} = 3 \cdot 1000 = 3000 \text{ кг/м}^3\)