461 Могут ли одновременно выполняться равенства: 1) sin α = 1/5 и tg α = 1/√24; 2) ctg α = √7/3 и cos α = 3/4?

Дано: $$sin α = \frac{1}{5}$$ и $$tg α = \frac{1}{\sqrt{24}}$$. Нужно проверить, могут ли эти равенства выполняться одновременно.

$$tg α = \frac{sin α}{cos α}$$, отсюда $$cos α = \frac{sin α}{tg α} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{\sqrt{24}}} = \frac{\sqrt{24}}{5}$$.

Проверим основное тригонометрическое тождество: $$sin^2 α + cos^2 α = 1$$.

$$(\frac{1}{5})^2 + (\frac{\sqrt{24}}{5})^2 = \frac{1}{25} + \frac{24}{25} = \frac{25}{25} = 1$$. Значит, равенства могут выполняться одновременно.

Ответ: Да, равенства выполняться одновременно могут.

Дано: $$ctg α = \frac{\sqrt{7}}{3}$$ и $$cos α = \frac{3}{4}$$. Нужно проверить, могут ли эти равенства выполняться одновременно.

$$ctg α = \frac{cos α}{sin α}$$, отсюда $$sin α = \frac{cos α}{ctg α} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{3}} = \frac{3 \cdot 3}{4 \sqrt{7}} = \frac{9}{4 \sqrt{7}} = \frac{9\sqrt{7}}{28}$$.

Проверим основное тригонометрическое тождество: $$sin^2 α + cos^2 α = 1$$.

$$(\frac{9\sqrt{7}}{28})^2 + (\frac{3}{4})^2 = \frac{81 \cdot 7}{28^2} + \frac{9}{16} = \frac{567}{784} + \frac{9}{16} = \frac{81}{112} + \frac{9}{16} = \frac{81 \cdot 2 + 9 \cdot 14}{224} = \frac{162 + 126}{224} = \frac{288}{224} = \frac{9}{7} ≠ 1$$. Значит, равенства не могут выполняться одновременно.

Ответ: Нет, равенства выполняться одновременно не могут.