Моторная лодка прошла расстояние 45 км против течения реки и такое же расстояние по течению реки, затратив на весь путь 14 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Решение:

Дано:

• Расстояние (туда и обратно) \( S = 45 \) км.
• Время всего пути \( t_{всего} = 14 \) ч.
• Скорость течения реки \( v_{тек} = 2 \) км/ч.

Найти:

• Собственную скорость лодки \( v_{собст} \).

Решение:

1. Пусть \( v_{собст} \) — собственная скорость лодки (км/ч).
2. Скорость лодки по течению: \( v_{по} = v_{собст} + v_{тек} = v_{собст} + 2 \) (км/ч).
3. Скорость лодки против течения: \( v_{против} = v_{собст} - v_{тек} = v_{собст} - 2 \) (км/ч).
4. Время в пути по течению: \( t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{45}{v_{собст} + 2} \) (ч).
5. Время в пути против течения: \( t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{45}{v_{собст} - 2} \) (ч).
6. Общее время в пути: \( t_{всего} = t_{по} + t_{против} \).
7. Составим уравнение:
• \[ \frac{45}{v_{собст} + 2} + \frac{45}{v_{собст} - 2} = 14 \]
8. Умножим обе части уравнения на \( (v_{собст} + 2)(v_{собст} - 2) \) (при \( v_{собст} > 2 \)):
• \[ 45(v_{собст} - 2) + 45(v_{собст} + 2) = 14(v_{собст}^2 - 4) \]
9. Раскроем скобки и упростим:
• \[ 45v_{собст} - 90 + 45v_{собст} + 90 = 14v_{собст}^2 - 56 \]
• \[ 90v_{собст} = 14v_{собст}^2 - 56 \]
• Перенесем все члены в правую часть:
• \[ 14v_{собст}^2 - 90v_{собст} - 56 = 0 \]
• Разделим уравнение на 2:
• \[ 7v_{собст}^2 - 45v_{собст} - 28 = 0 \]
10. Решим квадратное уравнение относительно \( v_{собст} \) (дискриминант \( D = (-45)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-28) = 2025 + 784 = 2809 \), \( \sqrt{D} = 53 \)):
• \[ v_{собст} = \frac{45 \pm 53}{14} \]
• \[ v_{собст1} = \frac{45 + 53}{14} = \frac{98}{14} = 7 \]
• \[ v_{собст2} = \frac{45 - 53}{14} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7} \]
11. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: Собственная скорость лодки — 7 км/ч.