На боковых сторонах равнобедренного треугольника АВС отложены равные отрезки ВМ и ВN. Отрезок BD – высота треугольника. Докажите, что MD = ND.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, BM = BN, и BD - высота (и медиана, и биссектриса).

Так как BD - высота, то AD = DC.

Рассмотрим треугольники BMD и BND.

1. BM = BN (по условию).
2. ∠MBD = ∠NBD (так как BD - биссектриса).
3. BD - общая сторона.

Следовательно, ΔBMD = ΔBND по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что MD = ND.

Что и требовалось доказать.