Вариант А1. Дано: AB = CD; BC = DA; ∠C = 40°. Доказать: ΔABD = ΔCDB. Найти: ∠A.

Рассмотрим треугольники ABD и CDB.

1. AB = CD (по условию).
2. BC = DA (по условию).
3. BD – общая сторона.

Следовательно, ΔABD = ΔCDB по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A = ∠CDB и ∠C = ∠ABD.

Так как ∠C = 40°, то и ∠ABD = 40°.

В треугольнике CDB сумма углов равна 180°: ∠CDB + ∠CBD + ∠C = 180°.

Пусть ∠CBD = x, тогда ∠CDB = ∠A = 180° - 40° - x = 140° - x.

В треугольнике ABD: ∠A + ∠ABD + ∠ADB = 180°.

140° - x + 40° + ∠ADB = 180°.

∠ADB = x.

В четырёхугольнике ABCD сумма углов равна 360°: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.

∠A + ∠C = ∠B + ∠D.

Поэтому ∠A + ∠C = 180°.

∠A = 180° - ∠C = 180° - 40° = 140°.

Ответ: ∠A = 140°