529. На числовой прямой даны три отрезка: Р = [13; 21], Q = [23; 35] и R = [28; 38]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, что формула (((x∈Q)→((x∈P) v (x ∈ R)))) → (¯(x ∈ A) → (x ∈Q)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х?

Дано: P = [13; 21], Q = [23; 35], R = [28; 38]. Нужно найти наименьшую длину отрезка A, при которой формула (((x∈Q)→((x∈P) ∨ (x ∈ R)))) → (¬(x ∈ A) → (x ∈Q)) тождественно истинна.

Запишем формулу в виде (Q → (P ∨ R)) → (¬A → Q). Формула тождественно истинна, если для любого x выражение всегда равно 1.

Рассмотрим (Q → (P ∨ R)) → (¬A → Q). Эквивалентно ¬(Q → (P ∨ R)) ∨ (¬A → Q).

¬A → Q эквивалентно A ∨ Q.

Q → (P ∨ R) эквивалентно ¬Q ∨ (P ∨ R).

Исходная формула эквивалентна ¬(¬Q ∨ (P ∨ R)) ∨ (A ∨ Q) эквивалентно (Q ∧ ¬(P ∨ R)) ∨ (A ∨ Q) эквивалентно (Q ∧ ¬P ∧ ¬R) ∨ (A ∨ Q) эквивалентно (Q ∧ ¬P ∧ ¬R) ∨ A ∨ Q.

Нужно, чтобы (Q ∧ ¬P ∧ ¬R) ∨ A ∨ Q = 1 для всех x.

Заметим, что если x ∈ Q, то выражение равно 1, независимо от A.

Q = [23, 35]. P = [13, 21], R = [28, 38].

Q ∧ ¬P ∧ ¬R означает x ∈ Q, x ∉ P, x ∉ R. Значит, x ∈ [23, 35], x ∉ [13, 21], x ∉ [28, 38]. Это означает x ∈ [23, 28).

Нужно, чтобы для x ∉ Q, было A = 1. Т.е. если x ∉ Q, то x ∈ A.

Q = [23, 35], значит, если x ∉ [23, 35], то x ∈ A. Значит, A = (-∞, 23) ∪ (35, ∞).

Однако, нам нужно наименьшую длину отрезка A. Если x ∈ [23, 35], то Q ∧ ¬P ∧ ¬R = 0. И нужно, чтобы 0 ∨ A ∨ 1 = 1. Это верно.

Если x ∉ [23, 35], то нужно, чтобы A ∨ Q = 1, т.е. A = 1. Чтобы найти наименьшую длину отрезка A, нужно, чтобы если x ∉ [23, 35], то A = 1. Это не дает конкретной длины.

Возьмем (Q ∧ ¬P ∧ ¬R) ∨ (A ∨ Q) = (Q ∧ ¬P ∧ ¬R) ∨ A ∨ Q. Раскроем скобки: (Q ∧ ¬P ∧ ¬R) ∨ A ∨ Q = (Q ∨ A ∨ Q) ∧ (¬P ∨ A ∨ Q) ∧ (¬R ∨ A ∨ Q).

И так (A ∨ Q) ∧ (A ∨ Q ∨ ¬P) ∧ (A ∨ Q ∨ ¬R).

Рассмотрим вариант, когда A = ∅, т.е. длина равна 0.

Ответ: 0