571. На числовой прямой даны три отрезка: Р = [57892; 478683], Q = [123456; 760123], R = [592916; 977654]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка А, что формула (x∈Q)→((x∈P) → (((x∈R) Λ¯(x ∈ A)) → −(x ∈Q))) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х?

Дано: P = [57892; 478683], Q = [123456; 760123], R = [592916; 977654]. Требуется найти наименьшую длину A, при которой формула (x∈Q)→((x∈P) → (((x∈R) ∧ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈Q))) тождественно истинна.

Перепишем формулу в виде Q → (P → ((R ∧ ¬A) → ¬Q)). Формула A → B эквивалентна ¬A ∨ B. Тогда ¬Q ∨ (¬P ∨ (¬(R ∧ ¬A) ∨ ¬Q)).

¬Q ∨ (¬P ∨ (¬R ∨ A ∨ ¬Q)). ¬Q ∨ ¬P ∨ ¬R ∨ A ∨ ¬Q.

Перепишем в виде A ∨ ¬P ∨ ¬Q ∨ ¬R. Чтобы формула была тождественно истинна, необходимо, чтобы A ∨ ¬P ∨ ¬Q ∨ ¬R ≡ 1.

Если x ∈ P, то ¬P = 0. Если x ∈ Q, то ¬Q = 0. Если x ∈ R, то ¬R = 0.

Если x ∉ P, то ¬P = 1. Если x ∉ Q, то ¬Q = 1. Если x ∉ R, то ¬R = 1.

P = [57892; 478683], Q = [123456; 760123], R = [592916; 977654].

Пересечение Q и R = [592916; 760123].

Если P ∪ Q ∪ R = (-∞, ∞), то достаточно A = ∅.

P ∪ Q ∪ R = [57892, 478683] ∪ [123456, 760123] ∪ [592916, 977654] = [57892, 977654].

Значит, нужно найти A, чтобы A ∨ ¬P ∨ ¬Q ∨ ¬R ≡ 1. Если x ∈ P ∨ Q ∨ R, то формула принимает вид A ∨ 0 ≡ 1. Если x ∉ P ∨ Q ∨ R, то A ∨ 1 = 1.

Значит, наименьшую длину A будет 0.

Ответ: 0