152 На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ - прямой. Отрезок ВС — диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны.

Так как угол АОВ прямой, то дуга АВ равна 90°. Так как ВС - диаметр, то угол ВАС - прямой (90°), так как опирается на диаметр. Тогда треугольник АВС - прямоугольный, и по теореме Пифагора: $$AB^2 + AC^2 = BC^2$$

Также по теореме Пифагора для треугольника АОВ: $$AO^2 + BO^2 = AB^2$$

Так как АО = ВО (радиусы), то $$2AO^2 = AB^2$$, следовательно $$AB = AO\sqrt{2}$$.

Так как ВС - диаметр, то ВС = 2 * АО. Подставим в первое уравнение:

$$2AO^2 + AC^2 = 4AO^2$$

$$AC^2 = 2AO^2$$

$$AC = AO\sqrt{2}$$

Следовательно, АВ = АС.

Ответ: доказано.