6. На оптической оси линзы с фокусным рассто- янием 20 см помещена светящаяся точка на рассто- янии 30 см от линзы. По другую сторону от линзы в её фокальной плоскости находится экран. Определите диаметр пятна на экране, если диаметр линзы 3 см.

Дано: $$F = 20 \text{ см}$$, $$d = 30 \text{ см}$$, $$D = 3 \text{ см}$$. Экран находится в фокальной плоскости.

Сначала найдем положение изображения светящейся точки с помощью формулы линзы:

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$$,

где $$F$$ - фокусное расстояние, $$d$$ - расстояние от предмета до линзы, $$f$$ - расстояние от изображения до линзы.

$$\frac{1}{20} = \frac{1}{30} + \frac{1}{f}$$
$$\frac{1}{f} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3 - 2}{60} = \frac{1}{60}$$
$$f = 60 \text{ см}$$

Увеличение линзы: $$\Gamma = \frac{f}{d} = \frac{60}{30} = 2$$

Так как экран находится в фокальной плоскости, то лучи от краев линзы образуют на экране пятно. Диаметр этого пятна можно найти, рассмотрев подобные треугольники.

Рассмотрим треугольник, образованный диаметром линзы $$D$$ и расстоянием от линзы до изображения $$f = 60 \text{ см}$$. Также рассмотрим треугольник, образованный диаметром пятна на экране $$D_{\text{пятна}}$$ и расстоянием от линзы до экрана, которое равно фокусному расстоянию $$F = 20 \text{ см}$$.

Отношение диаметров будет равно отношению расстояний:

$$\frac{D_{\text{пятна}}}{D} = \frac{F}{f - F}$$
$$\frac{D_{\text{пятна}}}{3} = \frac{20}{60 - 20} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$$
$$D_{\text{пятна}} = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1.5 \text{ см}$$

Ответ: Диаметр пятна на экране равен 1,5 см.