5. От предмета высотой 1 см получили с помощью линзы действительное изображение высотой 6 см. Когда предмет передвинули на 6 см, то получили мнимое изображение высотой 3 см. Определите фо- кусное расстояние линзы.

Пусть $$h_1$$ - высота предмета в первом случае ($$h_1 = 1 \text{ см}$$), $$H_1$$ - высота действительного изображения в первом случае ($$H_1 = 6 \text{ см}$$), $$d_1$$ - расстояние от предмета до линзы в первом случае, $$f_1$$ - расстояние от изображения до линзы в первом случае.

Во втором случае, $$h_2$$ - высота предмета во втором случае ($$h_2 = 1 \text{ см}$$), $$H_2$$ - высота мнимого изображения во втором случае ($$H_2 = 3 \text{ см}$$), $$d_2$$ - расстояние от предмета до линзы во втором случае ($$d_2 = d_1 + 6 \text{ см}$$), $$f_2$$ - расстояние от изображения до линзы во втором случае (отрицательное, так как изображение мнимое).

Увеличение линзы определяется как $$\Gamma = \frac{H}{h} = \frac{f}{d}$$.

Для первого случая: $$\frac{6}{1} = \frac{f_1}{d_1} \Rightarrow f_1 = 6d_1$$

Для второго случая: $$\frac{3}{1} = \frac{-f_2}{d_2} \Rightarrow -f_2 = 3d_2 = 3(d_1 + 6)$$.

Формула линзы: $$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$$.

Для первого случая: $$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{6d_1} = \frac{7}{6d_1} \Rightarrow F = \frac{6d_1}{7}$$

Для второго случая: $$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1 + 6} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{d_1 + 6} - \frac{1}{3(d_1 + 6)} = \frac{2}{3(d_1 + 6)} \Rightarrow F = \frac{3(d_1 + 6)}{2}$$

Теперь приравняем выражения для F: $$\frac{6d_1}{7} = \frac{3(d_1 + 6)}{2} \Rightarrow 12d_1 = 21(d_1 + 6) \Rightarrow 12d_1 = 21d_1 + 126 \Rightarrow 9d_1 = -126 \Rightarrow d_1 = 14 \text{ см}$$

Подставим найденное значение $$d_1$$ в формулу для F: $$F = \frac{6 \cdot 14}{7} = 12 \text{ см}$$.

Ответ: Фокусное расстояние линзы равно 12 см.