283 На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудаленная от боковых сторон. Докажите, что СМ - высота треугольника АВС.

Доказательство:

Пусть АВС – равнобедренный треугольник с основанием АВ, точка М на основании АВ равноудалена от боковых сторон, то есть расстояния от М до АС и ВС равны. Обозначим эти расстояния MD и ME соответственно, где D и E – основания перпендикуляров, опущенных из М на АС и ВС.

Рассмотрим треугольники АМС и ВМС. Они имеют общую сторону СМ. Так как АВС – равнобедренный, углы при основании равны: ∠САМ = ∠СВМ. MD = ME по условию. Следовательно, треугольники АМС и ВМС равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует равенство углов ∠АСМ = ∠ВСМ, то есть СМ – биссектриса угла С. Поскольку треугольник АВС равнобедренный, биссектриса, проведённая из вершины, является и высотой. Следовательно, СМ – высота треугольника АВС.

Ответ: Доказано, что СМ - высота треугольника АВС.