24. На основаниях AD и ВС трапеции АВСD отмечены точки К и L соответственно так, что АK : AD = BL : BC = 2:3. Докажите, что отрезок KL делит трапецию на части, площади которых относятся как 2: 1.

Доказательство:

Пусть площадь трапеции ABCD равна S.

AK : AD = BL : BC = 2:3, следовательно AK = (2/3)AD и BL = (2/3)BC.

Найдем площади трапеций AKLB и KLCD.

Так как высоты трапеций AKLB и KLCD равны, то отношение площадей равно отношению полусуммы оснований:

$$\frac{S_{AKLB}}{S_{KLCD}} = \frac{(AK + BL)/2}{(KD + LC)/2} = \frac{AK + BL}{KD + LC}$$

KD = AD - AK = AD - (2/3)AD = (1/3)AD.

LC = BC - BL = BC - (2/3)BC = (1/3)BC.

$$\frac{S_{AKLB}}{S_{KLCD}} = \frac{\frac{2}{3}AD + \frac{2}{3}BC}{\frac{1}{3}AD + \frac{1}{3}BC} = \frac{\frac{2}{3}(AD + BC)}{\frac{1}{3}(AD + BC)} = \frac{2}{1}$$

Площади трапеций AKLB и KLCD относятся как 2:1.

Ответ: Доказано