334. На продолжениях сторон AC и BC треугольника ABC (AB = BC) за точки A и B отметили соответственно точки P и K так, что PK || AB. Докажите, что треугольник KPC – равнобедренный.

Дано: треугольник ABC, AB = BC, точки P и K лежат на продолжениях сторон AC и BC соответственно, PK || AB. Доказать: треугольник KPC – равнобедренный. Решение: 1. Так как AB = BC, то треугольник ABC – равнобедренный, следовательно, \(\angle BAC = \angle BCA\). 2. \(\angle BAC\) и \(\angle PAC\) – смежные, поэтому \(\angle PAC = 180^\circ - \angle BAC\). 3. \(\angle BCA\) и \(\angle BCK\) – смежные, поэтому \(\angle BCK = 180^\circ - \angle BCA\). 4. Так как \(\angle BAC = \angle BCA\), то \(\angle PAC = \angle BCK\). 5. Поскольку PK || AB, то \(\angle CPK = \angle BAC\) и \(\angle PKC = \angle ABC\) как соответственные углы. Отсюда следует \(\angle CPK = \angle BAC\). 6. \(\angle PAC\) и \(\angle CPK\) - соответственные углы при секущей AP, следовательно, \(\angle CPK = \angle PAC\). 7. Аналогично, \(\angle PKC = \angle BCK\). 8. Так как \(\angle PAC = \angle BCK\), то \(\angle CPK = \angle PKC\). 9. В треугольнике KPC углы при основании PC равны, следовательно, этот треугольник равнобедренный, и CP = CK. Таким образом, треугольник KPC - равнобедренный. Что и требовалось доказать.