135. На рисунке 180 АК — биссектриса угла ВАС. Докажите, что DK || АС, если: a) ∠BDK = 54°, ∠KAC = 27°; б) ∠BDK = 2/KAC.

а) Дано: ∠BDK = 54°, ∠KAC = 27°.

Доказать: DK || AC.

Решение:

Т.к. АК - биссектриса угла ВАС, то ∠BAK = ∠KAC = 27°.

∠BAC = ∠BAK + ∠KAC = 27° + 27° = 54°.

Рассмотрим треугольник АВD. ∠BDA = 180° - ∠ABD - ∠BAD = 180° - ∠ABD - 54°.

∠ABD = 180° - 54° - ∠BDA.

Так как ∠BDK = 54°, то ∠ADK = 180° - 54° = 126° (смежные углы).

Рассмотрим треугольник АDK. ∠DAK = 180° - ∠ADK - ∠DKA = 180° - 126° - ∠DKA = 54° - ∠DKA.

Для того чтобы DK || АС необходимо, чтобы ∠DKA = ∠KAC = 27° (накрест лежащие углы).

Тогда, ∠DAK = 54° - 27° = 27°.

Так как ∠DAK = ∠KAC = 27°, то АК - биссектриса угла DАC. Но, по условию, АК - биссектриса угла ВАС, значит точки В, А, D лежат на одной прямой и DK || AC.

б) Дано: ∠BDK = 2∠KAC.

Доказать: DK || AC.

Решение:

Т.к. АК - биссектриса угла ВАС, то ∠BAK = ∠KAC.

∠BAC = ∠BAK + ∠KAC = 2∠KAC.

Рассмотрим треугольник АВD. ∠BDA = 180° - ∠ABD - ∠BAD = 180° - ∠ABD - 2∠KAC.

∠ABD = 180° - 2∠KAC - ∠BDA.

Так как ∠BDK = 2∠KAC, то ∠ADK = 180° - 2∠KAC (смежные углы).

Рассмотрим треугольник АDK. ∠DAK = 180° - ∠ADK - ∠DKA = 180° - (180° - 2∠KAC) - ∠DKA = 2∠KAC - ∠DKA.

Для того, чтобы DK || АС необходимо, чтобы ∠DKA = ∠KAC (накрест лежащие углы).

Тогда, ∠DAK = 2∠KAC - ∠KAC = ∠KAC.

Так как ∠DAK = ∠KAC, то АК - биссектриса угла DАC. Но, по условию, АК - биссектриса угла ВАС, значит точки В, А, D лежат на одной прямой и DK || AC.

Ответ: DK || AC в обоих случаях.