1. На рисунке 62 АМ-AN, ∠MNC-117, ∠ABC-63. Докажите, что М№ 1 ВС.

Из условия AM = AN, следовательно, треугольник AMN - равнобедренный, где AM и AN - боковые стороны.

∠MNC = 117° является внешним углом треугольника AMN при вершине N. Тогда ∠AMN = 180° - ∠MNC = 180° - 117° = 63°.

В равнобедренном треугольнике AMN углы при основании AM равны, т.е. ∠AMN = ∠ANM = 63°.

Сумма углов в треугольнике AMN равна 180°, следовательно, ∠MAN = 180° - ∠AMN - ∠ANM = 180° - 63° - 63° = 54°.

Из условия ∠ABC = 63°, и ∠AMN = 63°. Тогда ∠AMN = ∠ABC = 63°. Эти углы являются соответственными при прямых MN и BC и секущей AB. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, MN || BC.

Однако, нужно доказать, что MN ⊥ BC, а не MN || BC. В условии, вероятно, опечатка, и нужно доказать параллельность, а не перпендикулярность.

Предположим, что в условии ошибка, и надо доказать, что MN || BC. Доказательство приведено выше.

Ответ: Доказано, что MN || BC (предполагая, что в условии опечатка).