4. На рисунке 65 лучи ВО и СО — биссектрисы углов В и С треугольника АВС. На сторонах АВ и АС отмечены точки М и N так, что ВМ = МО, CN = NO. Докажите, что точки М, О и N лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки M, O и N лежат на одной прямой, нужно доказать, что ∠MON является развернутым углом, т.е. ∠MON = 180°.

Рассмотрим треугольник BMO. Так как BM = MO, то треугольник BMO - равнобедренный. Следовательно, ∠MBO = ∠MOB.

Т.к. BO - биссектриса угла B, то ∠MBO = ∠OBC = ∠B / 2. Значит, ∠MOB = ∠B / 2.

Аналогично, рассмотрим треугольник CNO. Так как CN = NO, то треугольник CNO - равнобедренный. Следовательно, ∠NCO = ∠NOC.

Т.к. CO - биссектриса угла C, то ∠NCO = ∠OCB = ∠C / 2. Значит, ∠NOC = ∠C / 2.

В треугольнике ABC сумма углов равна 180°, т.е. ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Рассмотрим угол MON. Он является частью развернутого угла вокруг точки O. ∠MON = 180° - ∠MOB - ∠NOC = 180° - ∠B / 2 - ∠C / 2 = 180° - (∠B + ∠C) / 2.

Т.к. ∠A + ∠B + ∠C = 180°, то ∠B + ∠C = 180° - ∠A. Значит, ∠MON = 180° - (180° - ∠A) / 2 = 180° - 90° + ∠A / 2 = 90° + ∠A / 2.

Чтобы точки M, O и N лежали на одной прямой, необходимо, чтобы ∠MON = 180°. Это возможно, если ∠A = 180°. Но это невозможно, так как ∠A - угол в треугольнике, и он должен быть меньше 180°.

Тут либо ошибка в условии, либо нужны дополнительные построения. Без них доказать, что M, O и N лежат на одной прямой, невозможно.

Ответ: Невозможно доказать, что точки M, O и N лежат на одной прямой без дополнительных построений или исправлений условия.