213 На рисунке 122 CE=ED, BE=EF и КЕ || AD. Докажите, что КЕ || ВС.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник BED. Так как BE=EF, то треугольник равнобедренный, следовательно, углы при основании ED равны. Пусть ∠BDE = ∠DEB = x.

2) Рассмотрим треугольник CED. Так как CE=ED, то треугольник равнобедренный, следовательно, углы при основании CD равны. Пусть ∠DCE = ∠CDE = y.

3) Рассмотрим треугольник AED. ∠ADE = ∠BDE + ∠CDE = x + y. ∠AED = ∠DEB = x (накрест лежащие углы при параллельных прямых KE и AD и секущей ED). ∠DAE = ∠DCE = y (накрест лежащие углы при параллельных прямых KE и AD и секущей AC).

4) ∠ADE + ∠AED + ∠DAE = 180° (сумма углов треугольника). Подставим известные значения: x + y + x + y = 180°, 2x + 2y = 180°, x + y = 90°.

5) Рассмотрим треугольник ABC. ∠BAC = ∠DAE = y. ∠BCA = ∠DCE = y. Тогда ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - y - y = 180° - 2y.

6) Рассмотрим прямые KE и BC и секущую AC. ∠KEA = ∠DAE = y (накрест лежащие углы при параллельных прямых KE и AD и секущей AC). ∠BCA = y.

7) Если накрест лежащие углы при прямых KE и BC и секущей AC равны, то прямые KE и BC параллельны.

Следовательно, KE || BC.

Ответ: KE || BC