8) На рисунке $$\angle A = 70^\circ$$, $$d(K, AC) = d(K, AD)$$, $$AM = AN$$. Найдите градусную меру $$\angle MNK$$

Так как $$d(K, AC) = d(K, AD)$$, то $$AK$$ - биссектриса $$\angle CAD$$, то есть $$\angle CAK = \angle DAK$$. $$\angle CAD = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$$. Тогда $$\angle CAK = \angle DAK = \frac{20^\circ}{2} = 10^\circ$$. Так как $$AM = AN$$, то треугольник $$AMN$$ - равнобедренный. Значит, $$\angle AMN = \angle ANM$$. $$\angle MAN = 70^\circ$$, тогда $$\angle AMN = \angle ANM = \frac{180^\circ - 70^\circ}{2} = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$. $$\angle AKC = 90^\circ$$, значит, $$\angle AKM = 90^\circ$$. $$\angle MAK = 10^\circ$$, следовательно, $$\angle AMK = 90^\circ - 10^\circ = 80^\circ$$. $$\angle NMK = \angle AMK - \angle AMN = 80^\circ - 55^\circ = 25^\circ$$. $$\angle DNK = 90^\circ$$, значит, $$\angle ANK = 90^\circ$$. $$\angle NAK = 10^\circ$$, следовательно, $$\angle ANK = 90^\circ - 10^\circ = 80^\circ$$. $$\angle ANM = 55^\circ$$, следовательно, $$\angle MNK = 90 - 55 = 35 - 10= 25^\circ$$. Ответ: 5) $$25^\circ$$