5) Расстояние от центра $$O$$ окружности до хорды $$AB$$ равно 4 см. Радиус $$OB$$ образует с хордой $$AB$$ угол, градусная мера которого равна $$45^\circ$$. Найдите длину хорды $$AB$$

Пусть $$M$$ - середина хорды $$AB$$, тогда $$OM$$ - перпендикуляр к $$AB$$ и $$OM = 4$$ см. $$\angle OBM = 45^\circ$$. В прямоугольном треугольнике $$OMB$$: $$\sin(\angle OBM) = \frac{OM}{OB}$$ $$\sin(45^\circ) = \frac{4}{OB}$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4}{OB}$$ $$OB = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$$ см. $$\cos(\angle OBM) = \frac{BM}{OB}$$ $$\cos(45^\circ) = \frac{BM}{4\sqrt{2}}$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{BM}{4\sqrt{2}}$$ $$BM = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$$ см. Тогда $$AB = 2 \cdot BM = 2 \cdot 4 = 8$$ см. Ответ: Длина хорды $$AB$$ равна 8 см.