24 На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и ВС выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ВЕС и AED равна половине площади трапеции.

Пусть EF - средняя линия трапеции ABCD, где E - точка на EF.

Площадь трапеции ABCD равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

$$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$$

где h - высота трапеции.

Площадь треугольника BEC равна половине произведения основания на высоту:

$$S_{BEC} = \frac{1}{2} BC \cdot h_1$$

где $$h_1$$ - высота, опущенная из точки E на сторону BC.

Площадь треугольника AED равна половине произведения основания на высоту:

$$S_{AED} = \frac{1}{2} AD \cdot h_2$$

где $$h_2$$ - высота, опущенная из точки E на сторону AD.

Так как EF - средняя линия, то $$h_1 = h_2 = \frac{h}{2}$$

$$S_{BEC} + S_{AED} = \frac{1}{2} BC \cdot \frac{h}{2} + \frac{1}{2} AD \cdot \frac{h}{2} = \frac{BC \cdot h}{4} + \frac{AD \cdot h}{4} = \frac{(AD + BC) \cdot h}{4} = \frac{1}{2} (\frac{(AD + BC) \cdot h}{2})$$

$$S_{BEC} + S_{AED} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано