8. На сторонах AB и AC треугольника ABC взяли точки M и N соответственно так, что AM = 7, MB = 10, AN = 5 и NC = 9. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь треугольника ABC равна 68.

Сначала найдем отношение площадей треугольников AMN и ABC. $$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC}$$ $$AM = 7, MB = 10 \Rightarrow AB = AM + MB = 7 + 10 = 17$$ $$AN = 5, NC = 9 \Rightarrow AC = AN + NC = 5 + 9 = 14$$ $$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{7}{17} \cdot \frac{5}{14} = \frac{35}{238} = \frac{5}{34}$$ Теперь найдем площадь треугольника AMN: $$S_{AMN} = S_{ABC} \cdot \frac{5}{34} = 68 \cdot \frac{5}{34} = 2 \cdot 5 = 10$$ Ответ: 10