5. На стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) отмечены точки \(D\) и \(E\) так, что \(AD = CE\). Докажите, что если \(BD = BE\), то \(AB = BC\).

Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(CBE\). Из условия дано, что \(AD = CE\) и \(BD = BE\). Треугольник \(DBE\) равнобедренный, так как \(BD = BE\). Следовательно, \(\angle BDE = \angle BED\). Так как \(\angle BDE\) и \(\angle ADB\) - смежные, то \(\angle ADB = 180^{\circ} - \angle BDE\). Аналогично, \(\angle BEC = 180^{\circ} - \angle BED\). Следовательно, \(\angle ADB = \angle BEC\). Таким образом, треугольники \(ABD\) и \(CBE\) равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): \(AD = CE\), \(BD = BE\), \(\angle ADB = \angle BEC\). Следовательно, \(AB = BC\). **Что и требовалось доказать.**