4. Наибольшая диагональ правильной 6-угольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол 30°. Найдите объём призмы.

Пусть $$d$$ - наибольшая диагональ призмы, $$h$$ - боковое ребро (высота) призмы, $$a$$ - сторона основания (правильного шестиугольника). Тогда $$d = 8$$ см. Угол между диагональю и боковым ребром равен 30$$^{\circ}$$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $$h$$, диагональю основания $$2a$$ и наибольшей диагональю призмы $$d$$, имеем: $$\cos(30^{\circ}) = \frac{h}{d}$$, откуда $$h = d \cos(30^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$ см. Также, $$2a = d \sin(30^{\circ}) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$, откуда $$a = 2$$ см. Площадь правильного шестиугольника $$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} (2)^2 = 6\sqrt{3}$$ см$$^2$$. Объём призмы $$V = S \cdot h = 6\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 24 \cdot 3 = 72$$ см$$^3$$. Ответ: 72 см$$^3$$.