7. Найдите число целых решений неравенства $$\frac{(x-3)(-x^2 + 5x + 6)}{x-5} \geq 0$$.

Решим неравенство методом интервалов: 1. Найдем корни числителя и знаменателя: $$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$ $$-x^2 + 5x + 6 = 0 \Rightarrow x^2 - 5x - 6 = 0$$ D = $$25 + 24 = 49$$ $$x_1 = \frac{5 + 7}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{5 - 7}{2} = -1$$ $$x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$$ 2. Отметим корни на числовой прямой: -1, 3, 5, 6. 3. Определим знаки на каждом интервале: (-∞; -1): (+)(-) / (-) = (+) (-1; 3): (+)(+) / (-) = (-) (3; 5): (+)(+) / (-) = (-) (5; 6): (+)(+) / (+) = (+) (6; +∞): (+)(-) / (+) = (-) 4. Выберем интервалы, где выражение больше или равно 0: (-∞; -1] ∪ [3; 5) ∪ [6; +∞) 5. Найдем целые решения: Из промежутка (-∞; -1]: -1, -2, -3, ... Из промежутка [3; 5): 3, 4 Из промежутка [6; 6]: 6 Целые решения: -1, 3, 4, 6. 6. Количество целых решений. Количество целых решений на интервале (-∞; -1] бесконечно. Однако учитывая контекст задания, и то, что оно решается в рамках школьной программы, предполагается поиск целочисленных решений на конечном промежутке. Таким образом, надо понять, не закралась ли ошибка в условие задания, либо опечатка. В частности, вместо знака "больше или равно" должен стоять знак "меньше или равно". В таком случае, итоговое решение будет выглядеть следующим образом. (-\infty, -1] \cup [3, 5) \cup [6, +\infty) \Rightarrow (-\infty, -1] \cup [3, 5) \cup [6, +\infty) (-1, 3] \cup (5, 6] \Rightarrow -1, 0, 1, 2, 3, 6 Ответ: 4.