6. В треугольнике ABC AB = 6 см, AC = 5 см, CM - медиана, ∠ACM = ∠BCM. Найдите синус угла A.

Так как CM - медиана и углы ACM и BCM равны, то CM - биссектриса. Тогда треугольник ABC - равнобедренный, AB = BC = 6. По теореме косинусов найдем косинус угла C: $$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 cdot AC cdot BC cdot cos(C)$$ $$36 = 25 + 36 - 2 cdot 5 cdot 6 cdot cos(C)$$ $$2 cdot 5 cdot 6 cdot cos(C) = 25$$ $$60 cdot cos(C) = 25$$ $$cos(C) = \frac{25}{60} = \frac{5}{12}$$ Тогда $$sin(C) = \sqrt{1 - cos^2(C)} = \sqrt{1 - (\frac{5}{12})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{144}} = \sqrt{\frac{119}{144}} = \frac{\sqrt{119}}{12}$$ Так как AC = BC, то угол A = углу B, тогда угол A = (180 - C) / 2 $$sin(A) = sin(\frac{180 - C}{2}) = cos(\frac{C}{2})$$ $$cos(C) = 2cos^2(\frac{C}{2}) - 1$$ $$\frac{5}{12} = 2cos^2(\frac{C}{2}) - 1$$ $$2cos^2(\frac{C}{2}) = \frac{17}{12}$$ $$cos^2(\frac{C}{2}) = \frac{17}{24}$$ $$cos(\frac{C}{2}) = \sqrt{\frac{17}{24}} = \sqrt{\frac{34}{48}} = \frac{\sqrt{34}}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{102}}{12}$$ $$sin(A) = \frac{\sqrt{102}}{12}$$ Ответ: $$\frac{\sqrt{102}}{12}$$