Найдите длины диагоналей, площадь диагонального сечения, площадь полной поверхности куба, ребро которого равно а. Построить диагонали и развертку куба. а) a = 2 м; б) a = 20 см; в) a = 3 см.

У куба с ребром \(a\) диагональ грани равна \(a\sqrt{2}\), пространственная диагональ — \(a\sqrt{3}\). Диагональное сечение представляет собой прямоугольник со сторонами \(a\) и \(a\sqrt{2}\), поэтому его площадь равна \(a^2\sqrt{2}\). Полная площадь поверхности равна \(6a^2\).

1. а) При \(a=2\text{ м}\): диагональ грани \(2\sqrt{2}\text{ м}\); пространственная диагональ \(2\sqrt{3}\text{ м}\); площадь диагонального сечения \(4\sqrt{2}\text{ м}^2\); площадь поверхности \(24\text{ м}^2\).
2. б) При \(a=20\text{ см}\): диагональ грани \(20\sqrt{2}\text{ см}\); пространственная диагональ \(20\sqrt{3}\text{ см}\); площадь диагонального сечения \(400\sqrt{2}\text{ см}^2\); площадь поверхности \(2400\text{ см}^2\).
3. в) При \(a=3\text{ см}\): диагональ грани \(3\sqrt{2}\text{ см}\); пространственная диагональ \(3\sqrt{3}\text{ см}\); площадь диагонального сечения \(9\sqrt{2}\text{ см}^2\); площадь поверхности \(54\text{ см}^2\).

Развёртка куба состоит из шести равных квадратов. На каждой схеме диагональ грани показана пунктиром. В пространственном кубе диагональ грани и пространственная диагональ исходят из одной вершины.

Ответ: формулы и значения приведены для всех трёх случаев.