7. Найдите для функции у = x² + 4x + 3: а) область определения функции; б) множество значений функции; в) наименьшее (наибольшее) значение функции; г) уравнение оси симметрии параболы; д) нули функции; е) промежутки знакопостоянства функции; ж) промежутки монотонности функции.

Пошаговое решение:

• а) Область определения функции: Для квадратичной функции область определения — все действительные числа.
• б) Множество значений функции: Найдем вершину параболы: \( x_в = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \), \( y_в = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = -1 \). Так как \( a = 1 > 0 \), парабола направлена вверх, поэтому множество значений: \( [-1; +\infty) \).
• в) Наименьшее (наибольшее) значение функции: Функция имеет наименьшее значение в вершине параболы, которое равно -1. Наибольшего значения нет, так как функция неограниченно возрастает.
• г) Уравнение оси симметрии параболы: Ось симметрии проходит через вершину параболы, поэтому уравнение оси симметрии: \( x = -2 \).
• д) Нули функции: Решим уравнение \( x^2 + 4x + 3 = 0 \). Корни: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = -3 \).
• е) Промежутки знакопостоянства функции:

• \( y > 0 \) при \( x \in (-\infty; -3) \cup (-1; +\infty) \).
• \( y < 0 \) при \( x \in (-3; -1) \).
• ж) Промежутки монотонности функции:
• Функция убывает на интервале \( (-\infty; -2] \).
• Функция возрастает на интервале \( [-2; +\infty) \).