Найдите х, у. 1 M 8 45° N 2Q 50° x 13 y R M 80° x L

1

Дано треугольник MNK, в котором MN = 8, угол M = 45°, угол K = 30°. Необходимо найти x и y, где x = NK, y = MK.

По теореме синусов:$$\frac{MN}{\sin K} = \frac{NK}{\sin M} = \frac{MK}{\sin N}$$.

Сначала найдем угол N: угол N = 180° - угол M - угол K = 180° - 45° - 30° = 105°.

Тогда: $$\frac{8}{\sin 30^\circ} = \frac{x}{\sin 45^\circ} = \frac{y}{\sin 105^\circ}$$.

$$\frac{8}{0.5} = \frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{y}{\sin 105^\circ}$$.

Отсюда: $$x = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{0.5} = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$$.

$$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$.

$$y = \frac{8 \cdot \sin 105^\circ}{0.5} = 16 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 4(\sqrt{6} + \sqrt{2})$$.

Ответ: $$x = 8\sqrt{2}$$, $$y = 4(\sqrt{6} + \sqrt{2})$$

2

Дано треугольник QLM, в котором QL = 13, угол Q = 50°, угол L = 80°. Необходимо найти x и y, где x = LM, y = QM.

Угол M = 180° - угол Q - угол L = 180° - 50° - 80° = 50°.

По теореме синусов: $$\frac{QL}{\sin M} = \frac{LM}{\sin Q} = \frac{QM}{\sin L}$$.

$$\frac{13}{\sin 50^\circ} = \frac{x}{\sin 50^\circ} = \frac{y}{\sin 80^\circ}$$.

$$x = \frac{13 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 50^\circ} = 13$$.

$$y = \frac{13 \cdot \sin 80^\circ}{\sin 50^\circ}$$.

Ответ: $$x = 13$$, $$y = \frac{13 \cdot \sin 80^\circ}{\sin 50^\circ}$$