Найдите корень дробно-рационального уравнения: x = (-6x + 21) / (x - 10)

Решение:

Решим дробно-рациональное уравнение:

\[ x = \frac{-6x + 21}{x - 10} \]

Перенесём всё в одну сторону:

\[ x - \frac{-6x + 21}{x - 10} = 0 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{x(x - 10) - (-6x + 21)}{x - 10} = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ \frac{x^2 - 10x + 6x - 21}{x - 10} = 0 \]

Упростим числитель:

\[ \frac{x^2 - 4x - 21}{x - 10} = 0 \]

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим квадратное уравнение:

\[ x^2 - 4x - 21 = 0 \]

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100 \).

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 10}{2} \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]\[ x_2 = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Проверим знаменатель \( x - 10 \):

При \( x_1 = 7 \), \( 7 - 10 = -3 \neq 0 \).

При \( x_2 = -3 \), \( -3 - 10 = -13 \neq 0 \).

Оба корня подходят.

Ответ: x = 7, x = -3