Найдите корень уравнения (5-x²)² = 256. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение:

Дано уравнение: \( (5-x^2)^2 = 256 \).

Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

\( 5-x^2 = \pm \sqrt{256} \)

\( 5-x^2 = \pm 16 \)

Рассмотрим два случая:

1. \( 5-x^2 = 16 \)
• \( x^2 = 5 - 16 \)
• \( x^2 = -11 \)
• Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
2. \( 5-x^2 = -16 \)
• \( x^2 = 5 - (-16) \)
• \( x^2 = 5 + 16 \)
• \( x^2 = 21 \)
• \( x = \pm \sqrt{21} \)

Уравнение имеет два действительных корня: \( \sqrt{21} \) и \( -\sqrt{21} \).

По условию задачи, если уравнение имеет больше одного корня, в ответе нужно записать меньший из корней.

Сравним \( \sqrt{21} \) и \( -\sqrt{21} \). Очевидно, что \( -\sqrt{21} \) меньше, чем \( \sqrt{21} \).

Ответ: -\(\sqrt{21}\).