Водолазный колокол, содержащий v=13 молей воздуха при давлении p₁=1,2 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления р₂. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A = avTlog₂P₂/p₁, где а=15 Дж/(моль·К) — постоянная, T = 300 К — температура воздуха. Найдите, какое давление р₂ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 117 000 Дж.

Дано:

• \( v = 13 \) моль
• \( p_1 = 1.2 \) атм
• \( a = 15 \) Дж/(моль·К)
• \( T = 300 \) К
• \( A = 117000 \) Дж

Найти:

• \( p_2 \) (атм)

Решение:

Используем формулу работы при изотермическом сжатии:

\( A = avT · \log_2\left(\frac{p_2}{p_1}\right) \)

Подставим известные значения:

\( 117000 = 15 \cdot 13 \cdot 300 \cdot \log_2\left(\frac{p_2}{1.2}\right) \)

Вычислим произведение \( 15 \cdot 13 \cdot 300 \):

\( 15 \cdot 13 = 195 \)

\( 195 \cdot 300 = 58500 \)

Теперь уравнение выглядит так:

\( 117000 = 58500 \cdot \log_2\left(\frac{p_2}{1.2}\right) \)

Разделим обе части на 58500:

\( \frac{117000}{58500} = \log_2\left(\frac{p_2}{1.2}\right) \)

\( 2 = \log_2\left(\frac{p_2}{1.2}\right) \)

По определению логарифма, если \( ±\log_b(x) = y \), то \( x = b^y \). В нашем случае \( b = 2 \), \( y = 2 \), а \( x = \frac{p_2}{1.2} \).

\( \frac{p_2}{1.2} = 2^2 \)

\( \frac{p_2}{1.2} = 4 \)

Умножим обе части на 1.2, чтобы найти \( p_2 \):

\( p_2 = 4 \cdot 1.2 \)

\( p_2 = 4.8 \) атм

Ответ: 4.8.