Прямая y = 9x - 5 является касательной к графику функции y = x²+7x+c. Найдите c.

Решение:

Условие касания означает, что в точке касания прямая и график функции имеют одну и ту же точку (то есть их значения \(y\) равны) и одинаковый наклон (то есть их производные равны).

1. Приравняем значения \(y\):

\( 9x - 5 = x^2 + 7x + c \)

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 + 7x - 9x + c + 5 = 0 \)

\( x^2 - 2x + (c+5) = 0 \)

2. Приравняем производные:

Производная прямой \( y = 9x - 5 \) равна \( y' = 9 \).

Производная параболы \( y = x^2 + 7x + c \) равна \( y' = 2x + 7 \).

Приравниваем производные:

\( 9 = 2x + 7 \)

\( 2x = 9 - 7 \)

\( 2x = 2 \)

\( x = 1 \)

3. Найдём \(c\) подставив \(x=1\) в квадратное уравнение:

Так как касательная имеет одну точку пересечения, квадратное уравнение \( x^2 - 2x + (c+5) = 0 \) должно иметь один корень. Это значит, что дискриминант \(D = 0\).

\( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 · 1 · (c+5) = 0 \)

\( 4 - 4(c+5) = 0 \)

\( 4 - 4c - 20 = 0 \)

\( -16 - 4c = 0 \)

\( -4c = 16 \)

\( c = -4 \)

Ответ: -4.