14. Найдите наибольшее значение функции у = − x3 + 3x²+9x-29 на отрезке [-1; 4]

Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке необходимо найти производную функции, приравнять её к нулю и найти критические точки. Затем нужно проверить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

1. Найдём производную функции: $$y' = -3x^2 + 6x + 9$$
2. Приравняем производную к нулю и найдём корни уравнения: $$-3x^2 + 6x + 9 = 0$$ $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ $$D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$$ $$x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$$
3. Оба корня $$x_1 = 3$$ и $$x_2 = -1$$ принадлежат отрезку [-1; 4].
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках:
5. $$y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1)^2 + 9(-1) - 29 = 1 + 3 - 9 - 29 = -34$$
6. $$y(3) = -(3)^3 + 3(3)^2 + 9(3) - 29 = -27 + 27 + 27 - 29 = -2$$
7. $$y(4) = -(4)^3 + 3(4)^2 + 9(4) - 29 = -64 + 48 + 36 - 29 = -9$$
8. Сравним значения функции: $$y(-1) = -34$$, $$y(3) = -2$$, $$y(4) = -9$$.
9. Наибольшее значение функции на отрезке [-1; 4] равно -2.

Ответ: -2