17. Сторона квадрата ABCD равна 1 см. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата, < АВМ = 30°. Найдите расстояние от точки М до прямой BD.

Пусть ABCD - квадрат со стороной 1 см, AM перпендикулярен плоскости квадрата, угол ABM = 30°. Нужно найти расстояние от точки M до прямой BD.

1. Т.к. AM перпендикулярна плоскости ABCD, то треугольник ABM - прямоугольный.
2. В прямоугольном треугольнике ABM: AM = AB * tg(30°) = 1 * (1/√3) = 1/√3 = √3 / 3.
3. Пусть O - точка пересечения диагоналей квадрата. Тогда AO = AC / 2 = (√2) / 2.
4. Рассмотрим треугольник AMO. Он прямоугольный, т.к. AM перпендикулярна плоскости квадрата.
5. МО = √(AM² + AO²) = √((√3 / 3)² + (√2 / 2)²) = √(1/3 + 1/2) = √(5/6) = √30 / 6.
6. Пусть H - середина BD. Тогда AH - расстояние от A до BD. AH = AC / 2 = (√2) / 2.
7. Расстояние от M до BD равно MH. MH = √(AM² + AH²) = √((√3 / 3)² + (√2 / 2)²) = √(1/3 + 1/2) = √(5/6) = √30 / 6.

Ответ: $$\frac{\sqrt{30}}{6}$$