15. Найдите все решения уравнения cos 2x + sin²x + √3cosx = 0, принадлежащие отрезку [-π; π].

Используем тригонометрические формулы для решения уравнения. Преобразуем cos 2x как cos²x - sin²x.

1. $$cos 2x + sin^2 x + \sqrt{3} cos x = 0$$
2. $$cos^2 x - sin^2 x + sin^2 x + \sqrt{3} cos x = 0$$
3. $$cos^2 x + \sqrt{3} cos x = 0$$
4. $$cos x (cos x + \sqrt{3}) = 0$$
5. Отсюда, либо cos x = 0, либо cos x + √3 = 0.
6. Рассмотрим cos x = 0. Решения: $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$
7. На отрезке [-π; π]: $$x_1 = -\frac{\pi}{2}, x_2 = \frac{\pi}{2}$$
8. Рассмотрим cos x + √3 = 0, то есть cos x = -√3. Так как -1 ≤ cos x ≤ 1, а -√3 < -1, это уравнение не имеет решений.

Ответ: $$\pm\frac{\pi}{2}$$