19. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 3x + 32-x < 10

Решим неравенство:

1. $$3^x + 3^{2-x} < 10$$
2. $$3^x + \frac{3^2}{3^x} < 10$$
3. Пусть $$t = 3^x$$, тогда $$t > 0$$
4. $$t + \frac{9}{t} < 10$$
5. $$t^2 + 9 < 10t$$
6. $$t^2 - 10t + 9 < 0$$
7. Найдём корни квадратного уравнения: $$t^2 - 10t + 9 = 0$$
8. $$D = (-10)^2 - 4(1)(9) = 100 - 36 = 64$$
9. $$t_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2} = \frac{10 + 8}{2} = 9$$
10. $$t_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2} = \frac{10 - 8}{2} = 1$$
11. Решением неравенства является интервал (1; 9).
12. Вернёмся к исходной переменной: $$1 < 3^x < 9$$
13. $$3^0 < 3^x < 3^2$$
14. $$0 < x < 2$$
15. Наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству, не существует, так как x > 0. Однако, нам нужно найти наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству. Число x должно быть больше 0 и меньше 2. Следовательно, искомое число 1, но нужно помнить, что неравенство строгое и единица не подходит
16. Рассмотрим целые значения x. При x=0: 3^0 + 3^(2-0) = 1 + 9 = 10 < 10 (неверно)
17. При x=1: 3^1 + 3^(2-1) = 3 + 3 = 6 < 10 (верно)

Ответ: 1