5. Найдите наибольший простой делитель числа $$13^2(13^2 + 1) + 1$$.

Преобразуем выражение: $$13^2(13^2 + 1) + 1 = 13^4 + 13^2 + 1$$ Добавим и вычтем $$13^2$$: $$13^4 + 2 \cdot 13^2 + 1 - 13^2 = (13^2 + 1)^2 - 13^2$$ Разложим разность квадратов: $$(13^2 + 1 - 13)(13^2 + 1 + 13) = (169 + 1 - 13)(169 + 1 + 13) = (157)(183)$$ Разложим 183 на простые множители: $$183 = 3 \cdot 61$$ Таким образом, $$13^2(13^2 + 1) + 1 = 157 \cdot 3 \cdot 61$$ Наибольший простой делитель числа $$13^2(13^2 + 1) + 1$$ равен 157. Ответ: 157