Найдите НОД (a, b) и НОК (a, b), записав их в виде произведения степеней простых чисел. 1) a = 2⁴·3²·5³·7, b = 2²·3³·5².7 НОД (a, b) = 2²·3²·5²·7, НОК (a, b) = 2⁴·3³·5³·7 2) a = 2⁷·3⁷·11³, b = 2³·3³·13²·17

Решение:

Чтобы найти НОД, нужно взять общие простые множители в наименьшей степени. Чтобы найти НОК, нужно взять все простые множители из обоих разложений в наибольшей степени.

1. Дано: \( a = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 7 \), \( b = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7 \)
2. НОД (a, b): Общие множители: 2, 3, 5, 7. Наименьшие степени: \( 2^2 \), \( 3^2 \), \( 5^2 \), \( 7^1 \).\( \text{НОД}(a, b) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 \)
3. НОК (a, b): Все множители: 2, 3, 5, 7. Наибольшие степени: \( 2^4 \), \( 3^3 \), \( 5^3 \), \( 7^1 \).\( \text{НОК}(a, b) = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3 \cdot 7 \)
4. Дано: \( a = 2^7 \cdot 3^7 \cdot 11^3 \), \( b = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 13^2 \cdot 17 \)
5. НОД (a, b): Общие множители: 2, 3. Наименьшие степени: \( 2^3 \), \( 3^3 \).\( \text{НОД}(a, b) = 2^3 \cdot 3^3 \)
6. НОК (a, b): Все множители: 2, 3, 11, 13, 17. Наибольшие степени: \( 2^7 \), \( 3^7 \), \( 11^3 \), \( 13^2 \), \( 17^1 \).\( \text{НОК}(a, b) = 2^7 \cdot 3^7 \cdot 11^3 \cdot 13^2 \cdot 17 \)

Ответ: для 1) НОД(a,b) = 2²·3²·5²·7, НОК(a,b) = 2⁴·3³·5³·7; для 2) НОД(a,b) = 2³·3³, НОК(a,b) = 2⁷·3⁷·11³·13²·17.