Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, если объём треугольной пирамиды SADB равен 40.

Пусть сторона правильного шестиугольника равна \(a\), а высота пирамиды — \(h\). Диагональ AD равна \(2a\), а высота треугольника ADB к основанию AD равна \(\frac{\sqrt3a}{2}\). Поэтому \(S_{ADB}=\frac{1}{2}\cdot2a\cdot\frac{\sqrt3a}{2}=\frac{\sqrt3a^2}{2}\).

Площадь основания шестиугольной пирамиды равна \(6\cdot\frac{\sqrt3a^2}{4}=\frac{3\sqrt3a^2}{2}\). Значит, площадь треугольника ADB составляет треть площади основания. У пирамид одинаковая высота, поэтому объём SADB составляет треть объёма всей пирамиды.

Объём всей пирамиды: \(40\cdot3=120\).

Ответ: 120.