663 Найдите объем правильной п-угольной призмы, у которой каждое ребро равно а, если: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6; г) п = 8.

Дано: правильная n-угольная призма, каждое ребро равно a.

Найти: V

Решение:

а) п = 3. Основанием является правильный треугольник со стороной a. Площадь правильного треугольника $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
Высота призмы равна a, т.к. все ребра равны. $$V = S \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot a = \frac{a^3\sqrt{3}}{4}$$

б) п = 4. Основанием является квадрат со стороной a. Площадь квадрата $$S = a^2$$
Высота призмы равна a, т.к. все ребра равны. $$V = S \cdot h = a^2 \cdot a = a^3$$

в) п = 6. Основанием является правильный шестиугольник со стороной a. Площадь правильного шестиугольника $$S = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$$
Высота призмы равна a, т.к. все ребра равны. $$V = S \cdot h = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot a = \frac{3a^3\sqrt{3}}{2}$$

г) п = 8. Основанием является правильный восьмиугольник со стороной a. Площадь правильного восьмиугольника $$S = 2(1 + \sqrt{2})a^2$$
Высота призмы равна a, т.к. все ребра равны. $$V = S \cdot h = 2(1 + \sqrt{2})a^2 \cdot a = 2(1 + \sqrt{2})a^3$$

Ответ:

1. а) $$\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$$
2. б) $$a^3$$
3. в) $$\frac{3a^3\sqrt{3}}{2}$$
4. г) $$2(1 + \sqrt{2})a^3$$