3. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 51 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите $$\frac{V}{\pi}$$.

Объем конуса равен $$\frac{1}{3} \pi r^2 h$$, где $$r$$ - радиус основания, $$h$$ - высота конуса. Образующая конуса (l) равна 51 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей конуса, находим: $$\sin(30^\circ) = \frac{h}{l}$$, откуда $$h = l \cdot \sin(30^\circ) = 51 \cdot \frac{1}{2} = 25.5$$ $$\cos(30^\circ) = \frac{r}{l}$$, откуда $$r = l \cdot \cos(30^\circ) = 51 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Тогда объем конуса: $$V = \frac{1}{3} \pi (51 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})^2 \cdot 25.5 = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{51^2 \cdot 3}{4} \cdot 25.5 = \pi \cdot \frac{51^2 \cdot 25.5}{4}$$ $$\frac{V}{\pi} = \frac{51^2 \cdot 25.5}{4} = \frac{2601 \cdot 25.5}{4} = \frac{66325.5}{4} = 16581.375$$ **Ответ: 16581.375**