4. Найдите область допустимых значений выражения: √2x²-6x

Область допустимых значений (ОДЗ) выражения $$\sqrt[6]{2x^2 - 6x}$$ определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$2x^2 - 6x ≥ 0$$. Решим это неравенство.

1. Вынесем общий множитель за скобки: $$2x(x - 3) ≥ 0$$.
2. Разделим обе части на 2: $$x(x - 3) ≥ 0$$.
3. Найдем корни уравнения $$x(x - 3) = 0$$: $$x = 0$$ и $$x = 3$$.
4. Определим знаки выражения на интервалах, образованных корнями:
   • $$x < 0$$: $$x = -1$$, тогда $$-1(-1 - 3) = -1(-4) = 4 > 0$$ (положительно)
   • $$0 < x < 3$$: $$x = 1$$, тогда $$1(1 - 3) = 1(-2) = -2 < 0$$ (отрицательно)
   • $$x > 3$$: $$x = 4$$, тогда $$4(4 - 3) = 4(1) = 4 > 0$$ (положительно)
5. Выберем интервалы, где выражение неотрицательно: $$x ≤ 0$$ или $$x ≥ 3$$.

Ответ: $$x ∈ (-∞, 0] ∪ [3, +∞)$$