6. Решите неравенство: √x−3 <х-5.

Решим неравенство $$\sqrt{x - 3} < x - 5$$.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
   • $$x - 3 ≥ 0$$ $$\Rightarrow$$ $$x ≥ 3$$.
2. Пусть $$x - 5 > 0$$, тогда $$x > 5$$.
3. Возведем обе части неравенства в квадрат: $$x - 3 < (x - 5)^2$$.
4. $$x - 3 < x^2 - 10x + 25$$.
5. $$0 < x^2 - 11x + 28$$.
6. Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - 11x + 28 = 0$$:
   • Дискриминант $$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 - 112 = 9$$.
   • $$x_1 = \frac{11 + \sqrt{9}}{2} = \frac{11 + 3}{2} = \frac{14}{2} = 7$$.
   • $$x_2 = \frac{11 - \sqrt{9}}{2} = \frac{11 - 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$$.
7. Решим неравенство $$x^2 - 11x + 28 > 0$$. Интервалы:
   • $$x < 4$$, $$x = 3$$, тогда $$3^2 - 11 \cdot 3 + 28 = 9 - 33 + 28 = 4 > 0$$.
   • $$4 < x < 7$$, $$x = 5$$, тогда $$5^2 - 11 \cdot 5 + 28 = 25 - 55 + 28 = -2 < 0$$.
   • $$x > 7$$, $$x = 8$$, тогда $$8^2 - 11 \cdot 8 + 28 = 64 - 88 + 28 = 4 > 0$$.
8. Выберем интервалы, где выражение положительно: $$x < 4$$ или $$x > 7$$.
9. С учетом ОДЗ: $$x ≥ 3$$ и $$x > 5$$. Тогда $$x > 7$$.

Ответ: $$x ∈ (7, +∞)$$