5. Найдите область определения функции: a) y = √6x-2x²; б) y = x²-4x-12 2x-18 ; B) y = √16-x² +√7-5x.

5. Найдем область определения функции:

a) $$y = \sqrt{6x-2x^2}$$

Т.к. под корнем четной степени должно быть неотрицательное число, то:

$$6x-2x^2 \ge 0$$

$$2x(3-x) \ge 0$$

Решим методом интервалов. Найдем нули функции.

$$2x = 0$$

$$x = 0$$

$$3-x = 0$$

$$x = 3$$

Отметим на числовой прямой точки 0 и 3. Расставим знаки на интервалах. Выберем интервал, где знак плюс.

-        +        -
---(0)----(3)---

Решением неравенства является отрезок $$[0; 3]$$.

б) $$y = \sqrt{\frac{x^2-4x-12}{2x-18}}$$.

Т.к. под корнем четной степени должно быть неотрицательное число, и на ноль делить нельзя, то:

$$\frac{x^2-4x-12}{2x-18} \ge 0$$

Найдем корни квадратного трехчлена $$x^2-4x-12$$

$$D = (-4)^2-4\cdot1\cdot(-12) = 16 + 48 = 64$$

$$x_1 = \frac{4+\sqrt{64}}{2\cdot1} = \frac{4+8}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

$$x_2 = \frac{4-\sqrt{64}}{2\cdot1} = \frac{4-8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$x^2-4x-12 = (x-6)(x+2)$$.

Найдем нули знаменателя:

$$2x-18 = 0$$

$$2x = 18$$

$$x = 9$$

Неравенство примет вид:

$$\frac{(x-6)(x+2)}{2(x-9)} \ge 0$$

Разделим обе части на 2:

$$\frac{(x-6)(x+2)}{x-9} \ge 0$$

Решим методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки -2, 6 и 9. Точка 9 выколотая, т.к. на нее делить нельзя. Расставим знаки на интервалах. Выберем интервалы, где знак плюс.

-        +        -        +
---(-2)----(6)----(9)---

Решением неравенства является объединение интервалов $$[-2; 6] \cup (9; +\infty)$$.

в) $$y = \sqrt{16-x^2} + \sqrt{7-5x}$$.

Т.к. под корнем четной степени должно быть неотрицательное число, то:

$$\begin{cases} 16-x^2 \ge 0 \\ 7-5x \ge 0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x^2 \le 16 \\ 5x \le 7 \end{cases}$$

$$\begin{cases} -4 \le x \le 4 \\ x \le \frac{7}{5} = 1.4 \end{cases}$$

Решением системы является отрезок $$[-4; 1.4]$$.

Ответ: a) $$x \in [0; 3]$$; б) $$x \in [-2; 6] \cup (9; +\infty)$$. в) $$x \in [-4; 1.4]$$.