4. Решите неравенство: a) 5x+1 x-2 <0; б) 3x-1 x+8 > 2.

4. Решим неравенства:

a) $$\frac{5x+1}{x-2} < 0$$

Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

$$5x+1 = 0$$

$$x = -\frac{1}{5} = -0.2$$

$$x-2 = 0$$

$$x = 2$$

Отметим на числовой прямой точки -0.2 и 2. Точка 2 выколотая, т.к. на нее делить нельзя. Расставим знаки на интервалах. Выберем интервал, где знак минус.

+        -        +
---(-0.2)----(2)---

Решением неравенства является интервал $$(-0.2; 2)$$.

б) $$\frac{3x-1}{x+8} \ge 2$$

$$\frac{3x-1}{x+8} - 2 \ge 0$$

$$\frac{3x-1-2(x+8)}{x+8} \ge 0$$

$$\frac{3x-1-2x-16}{x+8} \ge 0$$

$$\frac{x-17}{x+8} \ge 0$$

Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

$$x-17 = 0$$

$$x = 17$$

$$x+8 = 0$$

$$x = -8$$

Отметим на числовой прямой точки -8 и 17. Точка -8 выколотая, т.к. на нее делить нельзя. Расставим знаки на интервалах. Выберем интервалы, где знак плюс.

+        -        +
---(-8)----(17)---

Решением неравенства является объединение интервалов $$(-\infty; -8) \cup [17; +\infty)$$.

Ответ: a) $$x \in (-0.2; 2)$$; б) $$x \in (-\infty; -8) \cup [17; +\infty)$$.