29. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины А, С, А1, В₁ правильной треугольной призмы АВСА1В1С1. Площадь основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 7.

Объем многогранника, вершинами которого являются A, C, A₁, B₁, равен объему тетраэдра ACA₁B₁. Объем тетраэдра равен 1/3 произведения площади основания на высоту. В данном случае, можно взять за основание треугольник ACA₁, тогда его площадь равна половине площади прямоугольника, образованного стороной AC и высотой AA₁. Так как площадь основания призмы (треугольника ABC) равна 6, то можно сказать, что $$S_{ABC} = \frac{1}{2} a h = 6$$, где a - сторона AC, h - высота треугольника ABC. Площадь треугольника ACA₁ равна $$\frac{1}{2} (AC \cdot AA₁) = \frac{1}{2} a \cdot 7$$. Заметим, что площадь основания ABC равна 6, тогда выразим сторону a через высоту: $$\frac{1}{2} a h = 6$$ => $$a = \frac{12}{h}$$ Тогда площадь треугольника ACA₁ равна $$\frac{1}{2} \cdot \frac{12}{h} \cdot 7 = \frac{42}{h}$$ Высота тетраэдра, опущенная из вершины B₁ на плоскость ACA₁, равна высоте исходного треугольника ABC, то есть h. Тогда объем тетраэдра равен: \[V = \frac{1}{3} S_{ACA₁} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{42}{h} \cdot h = \frac{42}{3} = 14\] Ответ: 14