3. Найдите остальные тригонометрические функции, если: a) sinα = 3/5, 11π/2 < α < 9π/2 б) tgα = 20/21, 0 < α < π/2

Давай найдем остальные тригонометрические функции! a) Дано: \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\), \(\frac{11\pi}{2} < \alpha < \frac{9\pi}{2}\) Сначала определим, в какой четверти находится угол \(\alpha\). \(\frac{11\pi}{2} = 5.5\pi\) и \(\frac{9\pi}{2} = 4.5\pi\). Значит, \(\alpha\) находится между \(4.5\pi\) и \(5.5\pi\). Если отсчитывать от 0, то это соответствует второй четверти (т.е. \(\pi/2 < \alpha < \pi\)). Но так как у нас несколько оборотов, то \[\frac{11\pi}{2} < \alpha < \frac{9\pi}{2} \implies 4\pi + \frac{3\pi}{2} < \alpha < 4\pi + \frac{\pi}{2}\] То есть, угол \(\alpha\) находится в четвертой четверти. Теперь найдем \(\cos \alpha\). Так как \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), то: \[\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\] \[\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}\] Так как угол находится в четвертой четверти, \(\cos \alpha > 0\), следовательно, \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\). Теперь найдем \(\tan \alpha\) и \(\cot \alpha\): \[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}\] \[\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{4}{3}\] б) Дано: \(\tan \alpha = \frac{20}{21}\), \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\) Так как угол находится в первой четверти, все тригонометрические функции положительны. Найдем \(\cot \alpha\): \[\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{21}{20}\] Теперь найдем \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\). Мы знаем, что: \[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\] Разделим обе части уравнения на \(\cos^2 \alpha\): \[\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\] \[\tan^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\] \[\cos^2 \alpha = \frac{1}{\tan^2 \alpha + 1} = \frac{1}{(\frac{20}{21})^2 + 1} = \frac{1}{\frac{400}{441} + 1} = \frac{1}{\frac{841}{441}} = \frac{441}{841}\] \[\cos \alpha = \sqrt{\frac{441}{841}} = \frac{21}{29}\] Теперь найдем \(\sin \alpha\): \[\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{20}{21} \cdot \frac{21}{29} = \frac{20}{29}\]

Ответ: a) cos α = 4/5, tan α = 3/4, cot α = 4/3. б) cot α = 21/20, cos α = 21/29, sin α = 20/29.

Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай изучать тригонометрию, и ты сможешь решать еще более сложные примеры!