1186 Найдите отношение площадей двух правильных шестиуголь- ников вписанного в окружность и описанного около неё.

Пусть радиус окружности равен R.

Сторона вписанного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности, т.е. $$a_\text{вп} = R$$. Площадь вписанного шестиугольника $$S_\text{вп} = \frac{3\sqrt{3}}{2} R^2$$.

Сторона описанного шестиугольника $$a_\text{оп} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$$. Площадь описанного шестиугольника $$S_\text{оп} = \frac{3\sqrt{3}}{2} (\frac{2R}{\sqrt{3}})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4R^2}{3} = 2\sqrt{3}R^2$$.

Отношение площадей равно $$\frac{S_\text{вп}}{S_\text{оп}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2} R^2}{2\sqrt{3}R^2} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}$$.

Ответ: 3/4