1183 Найдите площадь S правильного п-угольника, если: а) п = 4, R = 3√2 см; б) п=3, Р=24 см; в) п=6, r=9 см; г) п=8, r = 5/3 см.

а) n = 4, R = 3√2 см

Правильный 4-угольник — это квадрат. Площадь квадрата можно найти как $$S = a^2$$, где a - сторона квадрата.

Выразим сторону квадрата через радиус описанной окружности: $$a = R\sqrt{2}$$, тогда $$a = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6$$ см.

Площадь квадрата равна $$S = 6^2 = 36$$ см².

б) n = 3, P = 24 см

Правильный 3-угольник — это равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника можно найти как $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$, где a - сторона треугольника.

Периметр равностороннего треугольника равен $$P = 3a$$, следовательно, сторона равна $$a = P ∶ 3 = 24 ∶ 3 = 8$$ см.

Площадь треугольника равна $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16\sqrt{3}$$ см².

в) n = 6, r = 9 см

Площадь правильного шестиугольника можно найти как $$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$, где a - сторона шестиугольника.

Сторону правильного шестиугольника можно выразить через радиус вписанной окружности: $$a = \frac{2r}{\sqrt{3}}$$, тогда $$a = \frac{2 \cdot 9}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$$ см.

Площадь шестиугольника равна $$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (6\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 36 \cdot 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 108 = 3\sqrt{3} \cdot 54 = 162\sqrt{3}$$ см².

г) n = 8, r = 5√3 см

Площадь правильного восьмиугольника можно найти как $$S = 2(1 + \sqrt{2})a^2$$, где a - сторона восьмиугольника.

Сторону правильного восьмиугольника можно выразить через радиус вписанной окружности: $$a = 2r(\sqrt{2} - 1)$$, тогда $$a = 2 \cdot \frac{5}{\sqrt{3}}(\sqrt{2} - 1) = \frac{10}{\sqrt{3}}(\sqrt{2} - 1)$$.

Площадь восьмиугольника равна $$S = 2(1 + \sqrt{2}) \cdot (\frac{10}{\sqrt{3}}(\sqrt{2} - 1))^2 = 2(1 + \sqrt{2}) \cdot \frac{100}{3} (2 - 2\sqrt{2} + 1) = 2(1 + \sqrt{2}) \cdot \frac{100}{3} (3 - 2\sqrt{2}) = \frac{200}{3} (3 - 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 4) = \frac{200}{3} (\sqrt{2} - 1)$$.

Ответ: а) 36 см², б) $$16\sqrt{3}$$ см², в) $$162\sqrt{3}$$ см², г) $$\frac{200}{3} (\sqrt{2} - 1)$$ см²